熱物性擬合中的敏感度分析

一、熱物性敏感度介紹

熱物性敏感度分析（Sensitivity Analysis）用于確定系統(tǒng)或模型對(duì)輸入?yún)?shù)或待擬合參數(shù)變化的敏感程度。熱物性敏感度分析主要作用包括識(shí)別關(guān)鍵因素、提高模型可靠性、不確定性評(píng)估、模型簡(jiǎn)化等。以時(shí)域熱反射（TDTR）系統(tǒng)為例，影響敏感度的主要因素包括激光功率、激光光斑尺寸、調(diào)制頻率以及樣品的各項(xiàng)熱物性參數(shù)。敏感度一般推薦是在樣品制備之前進(jìn)行，根據(jù)熱物性敏感度分析的結(jié)果來(lái)設(shè)計(jì)樣品和選擇實(shí)驗(yàn)參數(shù)有利于擬合模型得出更加可靠的結(jié)果。

除此之外，熱物性敏感度分析還可以被用作模型簡(jiǎn)化：通過(guò)識(shí)別不重要的變量，熱物性敏感度分析可以幫助簡(jiǎn)化模型，減少計(jì)算復(fù)雜度和成本，同時(shí)保持模型的準(zhǔn)確性。

二、熱物性敏感度的公式及相關(guān)參數(shù)

下面我們以時(shí)域熱反射（Time-Domain Thermoreflectance, TDTR）系統(tǒng)的敏感度分析為例，來(lái)理解敏感度分析的具體情況，敏感度的定義為：

其中 x 是模型參數(shù)，Y 為鎖相放大器信號(hào)， Sx 為信號(hào)對(duì)該模型參數(shù)x的敏感度，之所以使用對(duì)數(shù)形式是因?yàn)楦鶕?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則

這樣就可以消除信號(hào)自身強(qiáng)度對(duì)敏感度的影響，使得各個(gè)參數(shù)的敏感度可以進(jìn)行橫向比較。

在TDTR，F(xiàn)DTR，SDTR中，可以用來(lái)擬合的鎖相放大器信號(hào)（Y信號(hào)）包括信號(hào)的幅值，相位、相位差、Vin、Vout、或整個(gè)復(fù)數(shù)信號(hào)Z。

時(shí)域熱反射技術(shù)（TDTR）中常用幅值信號(hào)、相位、有時(shí)也會(huì)使用復(fù)數(shù)信號(hào)隨延遲量的變化曲線進(jìn)行擬合。頻域熱反射技術(shù)（Frequency-Domain Thermoreflectance, FDTR）一般使用相位信號(hào)隨頻率的變化曲線進(jìn)行擬合。傳統(tǒng)的空間域熱反射技術(shù)（Spatial-Domain Thermoreflectance, FDTR）使用相位信號(hào)隨空間掃描位置坐標(biāo)的變化曲線進(jìn)行擬合，但這種方法存在相位差校準(zhǔn)引入的誤差。昊遠(yuǎn)精測(cè)公司W(wǎng)ildFire-ONE 熱導(dǎo)率測(cè)量?jī)x改進(jìn)了傳統(tǒng)的空間域熱反射技術(shù)（SDTR），采用掃描位置與雙光斑重合位置的相位差隨掃描位置坐標(biāo)的變化曲線做為擬合信號(hào)，同時(shí)使用了振幅信號(hào)隨位置坐標(biāo)的變化曲線作為等效光斑尺寸的擬合信號(hào)。同時(shí)解決了相位矯正和光斑輸入的誤差，極大的提高了SDTR技術(shù)的準(zhǔn)確性和可靠性。

時(shí)域熱反射技術(shù)（TDTR）中的參數(shù)包括，飛秒脈沖激光的重復(fù)頻率、等效光斑直徑、調(diào)制頻率、各層厚度、各層各向熱導(dǎo)率、各層熱容、各層界面熱阻（熱導(dǎo)）等。其他系統(tǒng)的基本類(lèi)似。

三、熱物性分析軟件Thermo-Mind敏感度分析功能的用法

昊遠(yuǎn)精測(cè)熱物性分析系統(tǒng)平臺(tái)軟件Thermo-Mind提供方便快捷的敏感度分析功能，可以極大的助力實(shí)驗(yàn)進(jìn)程高效的進(jìn)行以及得到優(yōu)質(zhì)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。下面我們以TDTR系統(tǒng)為例介紹一下熱物性分析軟件Thermo-Mind的敏感度分析的一些使用場(chǎng)景：

1，在制樣之前，客戶(hù)首先要大致規(guī)劃樣品的結(jié)構(gòu)，并估算樣品的參數(shù)的數(shù)值。在這個(gè)階段，我們就推薦客戶(hù)對(duì)各參數(shù)進(jìn)行敏感度分析，并根據(jù)敏感度分析的結(jié)果對(duì)初步的樣品結(jié)構(gòu)以及部分參數(shù)（譬如樣品各層厚度）進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整。

絕大多數(shù)熱物性測(cè)量（包括TDTR、FDTR、SDTR、3OMEGA諧波法等）都是基于模型擬合的方式進(jìn)行測(cè)量的。在擬合過(guò)程中，如果將有過(guò)多的參數(shù)設(shè)為待擬合參數(shù)，往往效果不佳甚至出現(xiàn)明顯錯(cuò)誤的結(jié)果。所以在規(guī)劃實(shí)驗(yàn)階段，首先就要先確定哪些參數(shù)為輸入?yún)?shù)（已知參數(shù)），哪些為待擬合參數(shù)（未知參數(shù)）。此時(shí)推薦進(jìn)行敏感度分析對(duì)樣品結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化的原則是：輸入?yún)?shù)敏感度越小越好，待擬合參數(shù)敏感度越大越好。輸入?yún)?shù)敏感度小會(huì)降低實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)輸入?yún)?shù)誤差的依賴(lài)性，提高系統(tǒng)擬合結(jié)果的可靠性。待擬合參數(shù)敏感度越大則會(huì)增加待測(cè)參數(shù)擬合的精度。

2，在樣品制備完成之后，一般是通過(guò)更改調(diào)制頻率來(lái)調(diào)控各參數(shù)的敏感度的。調(diào)制頻率和熱場(chǎng)的穿透深度直接相關(guān)，熱穿透深度公式為：

從上式可以看出，對(duì)于任意樣品，都有調(diào)制頻率越高穿透深度越淺，調(diào)制頻率越低，穿透深度越深。不論是各光熱反射方法還是3Omega諧波測(cè)溫法都是通過(guò)樣品表面溫度的變化來(lái)計(jì)算相關(guān)模型輸出信號(hào)的。不同穿透深度會(huì)更多的攜帶其穿透深度內(nèi)的信息到達(dá)表面溫度場(chǎng)。所以控制不同的穿透深度對(duì)測(cè)量結(jié)果有著至關(guān)重要的作用。Thermo-Mind軟件敏感度分析功能可以針對(duì)不同的樣品結(jié)構(gòu)幫助客戶(hù)鎖定的調(diào)制頻率。

3，在實(shí)際TDTR測(cè)量中，很多時(shí)候會(huì)存在這樣的現(xiàn)象（以下以?xún)蓚€(gè)參數(shù)擬合的過(guò)程為例），即在某個(gè)頻率下待測(cè)參數(shù)A的敏感度非常低，同時(shí)待測(cè)參數(shù)B的敏感度較高；在另外一個(gè)頻率下，待測(cè)參數(shù)A的敏感度較高，同時(shí)待測(cè)參數(shù)B的敏感度非常低。如果經(jīng)過(guò)敏感度分析發(fā)現(xiàn)樣品的確存在這種現(xiàn)象，則可以選擇先在第1個(gè)頻率處把B參數(shù)固定在某個(gè)數(shù)值上，僅對(duì)A參數(shù)進(jìn)行擬合。第二步再在第二個(gè)頻率下，把第1步擬合出的參數(shù)A當(dāng)成輸入?yún)?shù)，對(duì)參數(shù)B進(jìn)行擬合。此后再將第二步得到的參數(shù)B帶入第1個(gè)頻率下的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，如此迭代可以極大的提高測(cè)量的準(zhǔn)確性和可靠性。

值得一提的是，昊遠(yuǎn)精測(cè)新版的Thermo-Mind-TDTR軟件增加了多頻擬合功能，客戶(hù)可以根據(jù)敏感度分析的結(jié)果對(duì)多個(gè)頻率進(jìn)行整體擬合，從而方便快捷的得到可靠的測(cè)量結(jié)果。

如您有任何關(guān)于熱物性敏感度的問(wèn)題，您可以和昊遠(yuǎn)精測(cè)的工程師及專(zhuān)家進(jìn)行溝通探討。

此外昊遠(yuǎn)精測(cè)提供各種專(zhuān)業(yè)熱物性測(cè)試服務(wù)，服務(wù)之前我們都會(huì)對(duì)您的樣品進(jìn)行詳盡的敏感度分析，和您共同制定優(yōu)化的測(cè)試方案，以期得到準(zhǔn)確和可靠的結(jié)果。歡迎大家咨詢(xún)聯(lián)系